Modul Program Linear, Model Matematika untuk Kelas XII

Program Linear

          Secara garis besar, langkah-langkah penyelesaian dalam program linear, yaitu :

1. Membuat model matematika
2. Menentukan daerah penyelesaian
3. Menentukan titik pojok dari daerah penyelesaian
4. Uji titik pojok 
5. Menentukan nilai optimum (jika yang diminta nilai maksimum pilihlah nilai yang terbesar, jika yang diminta nilai minimum pilihlah nilay yang terkecil).

          Langkah awal dalam masalah program linear adalah dengan mengubah persoalan sehari-hari ke dalam bentuk model matematika. Untuk mempermudah dapat menggunakan tabel berikut.

Variabel	Variabel 1 (x)	Variabel 2 (y)	Persediaan
Variabel lain 1
Variabel lain 2
Variabel lain 3

Catatan : Variabel lain diisi dengan variabel yang memiliki batas persediaan dan apabila terdapat kata kunci paling banyak,  tidak lebih dari, hanya maka gunakan tanda kurang dari (≤) dan kata kunci paling sedikit, tidak kurang dari, maka gunakan tanda lebih dari (≥)

          Agar lebih memahami tentang materi program linear ini. Mari kita ikuti contoh soal berikut ini:

Untuk membuat roti A diperlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Sedangkan untuk roti B diperlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia hanya 4 Kg dan mentega hanya 1,2 Kg. Jika harga roti A Rp. 2000,- dan harga roti B Rp. 1000,-. Berapakah pendapatan maksimum yang diperoleh?

Jawab :

• Langkah 1 : Membuat Model Matematika 

Roti A : 200 gram tepung, 25 gram mentega dengan harga Rp. 2000,-
Roti B : 100 gram tepung, 50 gram mentega dengan harga Rp. 1000,-
Tepung tersedia hanya 4 Kg (4000 gram)
Mentega tersedia hanya 1,2 Kg (1200 gram)

Variabel	Roti A (x)	Roti B (y)	Persediaan
Tepung	200 gram	100 gram	4 kg = 4000 gr
Mentega	25 gram	50 gram	1,2 kg = 1200 gr
Harga (Rp)	2000,00	1000,00

Jadi, model matematikanya :

200x + 100y ≤ 4000 disederhanakan (dibagi (:) 100) jadi 2x + y ≤ 40 

25x + 50y ≤ 1200 disederhanakan (dibagi (:) 25) jadi x + 2y ≤ 48 

x ≥ 0

y ≥ 0

Pernyataan ini dinamakan fungsi kendala (ada batasnya/persediaan)

z = 2000x + 1000y

Pernyataan ini dinamakan fungsi tujuan (yang mengoptimumkan)

• Langkah 2 : Menentukan Daerah Penyelesaian

Untuk 2x + y ≤ 40 maka persamaannya 2x + y = 40

Jika x = 0 maka y = 40 jadi (0,40)

Jika y = 0 maka x = 20 jadi (20,0)

Uji titik (0,0)

2.0 + 0 ≤ 40 

0 ≤ 40 

pernyataan benar, maka Daerah Penyelesaian mendekati titik uji (0,0) 

Untuk x + 2y ≤ 48 maka persamaannya x + 2y = 48
Jika x = 0 maka y = 24 jadi (0,24)

Jika y = 0 maka x = 48 jadi (48,0)

Uji titik (0,0)

0 + 2.0 ≤ 48 

0 ≤ 48

pernyataan benar, maka Daerah Penyelesaian mendekati titik uji (0,0) 

Catatan : Apabila pernyataan salah, maka Daerah Penyelesaian menjauhi titik uji (0,0)

Untuk x ≥ 0 maka persamaanya x = 0

Karena x ≥ 0 maka DP ada di sebelah kanan garis x = 0

Untuk y ≥ 0 maka persamaanya y = 0

Karena y ≥ 0 maka DP ada di sebelah atas garis y = 0

• Langkah 3 : Menentukan Titik Pojok dari Daerah Penyelesaian

Titik pojok yang ditentukan merupakan titik-titik yang ada di setiap pojok daerah penyelesaian.

Mencari koordinat titik C :

Menggunakan metode eliminasi 

2x + y = 40 |x 2| 4x + 2y = 80

x + 2y = 48 |x 1| x + 2y   = 48   -

                            3x        = 32

                              x        = 32/ 3 = 10,6 (dibulatkan)

                              x        = 10 

(dibulatkan ke bawah karena daerah penyelesaian di bawah 10,6)

Catatan : Jika hasil tidak bulat, gunakan metode eliminasi kembali. Tapi jika tidak, langsung menggunakan metode substitusi.

2x + y = 40 |x1| 2x + y   = 40

x + 2y = 48 |x2| 2x + 4y = 96   -

                            -3y        = -46

                              y         = -46/ -3

                              y         = 15,3

                              y         = 15

(dibulatkan ke bawah karena daerah penyelesaian di bawah 15,3)

Jadi, koordinat titik C adalah (10,15)

• Langkah 4 : Uji Titik Pojok 

Titik	x	y	2000 x + 1000 y
A (0,24)	0	24	2000 (0) + 1000 (24) = 24000
B (20,0)	20	0	2000 (20) + 1000 (0) = 40000
C (10,15)	10	15	2000(10) + 1000 (15) =45000

• Langkah 5 : Menentukan Nilai Optimum 

Karena yang diminta adalah pendapatan maksimum, maka pilih nilai yang terbesar yaitu 45000. Sehingga, pendapatan maksimum tukang roti tersebut adalah Rp 45000,00 dengan jumlah roti A (x) sebanyak 10 dan roti B (y) sebanyak 15.

Soal Latihan 

1. Seorang arsitek ingin membangun perumahan dengan dua tipe rumah yakni tipe rumah modern dan tradisional pada sebidang tanah seluas 10.000 m². Untuk membangun rumah modern dibutuhkan tanah seluas 80 m² dan untuk membangun rumah tradisonal dibutuhkan tanah seluas 100 m². Arsitek tersebut berencana untuk membuat paling banyak 120 unit. Jika biaya pembuatan rumah tipe modern 75 juta dan biaya pembuatan tipe rumah tradisional 100 juta, tentukan biaya minimal yang  harus disediakan untuk membangun rumah –rumah tersebut!
2. Suatu jenis roti membutuhkan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan jenis lain membutuhkan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah 26,5 kg tepung dan 16,25 kg mentega. Keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan roti jenis pertama dan kedua masing-masing Rp. 500,00 dan Rp. 600,00. Tentukan tiap-tiap jenis roti yang harus dibuat supaya didapat hasil keuntungan yang masksimum.
3. Seorang pemborong mempunyai persediaan cat warna cokelat 100 kaleng dan abu-abu 200 kaleng. Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk mencat ruang tamu dan ruang tidur di suatu gedung. Setelah dilakukan kalkulasi ternyata 1 ruang tamu menghabiskan 1 kaleng cat warna cokelat dan 3 kaleng warna abu-abu. Sedangkan ruang tidur menghabiskan 2 kaleng cat warna coklat dan 2 kaleng warna abu-abu. Biaya yang ditawarkan pemborong pada setiap ruang tamu Rp. 80.000,00 dan tiap ruang tidur Rp. 100.00,00. Berapakah pendapatan maksimum yang dapat diterima pemborong ?
4. Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truk dan colt dengan jumlah yang diangkut 224 karung. Truk dapat mengangku 14 karung dan colt 8 karung. Ongkos sewa truk Rp. 300.000,00 dan colt Rp. 250.000,00. Tentukan jumlah kendaraan masing-masing yang harus disewa agar ongkos minimal dan tentukan juga ongkos minimumnya.   
5. Sebuah rumah sakit untuk merawat pasiennya, setiap hari membutuhkan paling sedikit 150.00 unit kalori dan 130.000 unit protein. Setiap kg daging sapi mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap kg ikan segar mengandung 300 unit kalori dan 400 unit protein. Harga per kg daging dan ikan segar masing-masing Rp. 100.000 dan Rp. 30.000,00. Tentukan berapa kg daging sapi dan ikan segar yang harus disediakan rumah sakit supaya mengeluarkan biaya sekecil mungkin.
6. Seorang penjahit memiliki persediaan bahan polos dan bermotif berturut-turut 15 m dan 20 m yang akan dijahit menjadi kemeja dan rok. Satu kemeja membutuhkan 1 m bahan polos dan 1 m bahan bermotif, sedangkan satu rok memerlukan 1 m bahan polos dan 2 m bahan bermotif. Jika harga sebuah kemeja dan rok masing-masing Rp 30.000 dan Rp 25.000, maka penjualan maksimum yang diperoleh adalah ….

Download Modul

Program_Linear.doc

Size : 394 KB

Terima kasih semoga bermanfaat. Apabila ada yang ditanyakan silahkan komen. Soal pasti akan dijawab. 😊

Baca Juga :

•  Aturan/Kaidah Pencacahan dan Peluang Part Aturan Perkalian